Nenneraufnahme/Restklassenbildung/Vertauschbarkeit/Fakt/Beweis

Der Ringhomomorphismus

${\displaystyle R\longrightarrow R_{S}/{\mathfrak {a}}R_{S}}$

sendet ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}}$ auf ${\displaystyle {}0}$ und deshalb induziert dies einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}\longrightarrow R_{S}/{\mathfrak {a}}R_{S}.}$

Daher induziert dies nach Fakt einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle {\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{S}\longrightarrow R_{S}/{\mathfrak {a}}R_{S}.}$

Dabei geht ${\displaystyle {}{\frac {[r]}{s}}}$ auf ${\displaystyle {}\left[{\frac {r}{s}}\right]}$, woraus die Surjektivität folgt. Wenn ${\displaystyle {}\left[{\frac {r}{s}}\right]\in {\mathfrak {a}}R_{S}}$, so ist auch ${\displaystyle {}r\in {\mathfrak {a}}R_{S}}$, und das bedeutet, dass es ein ${\displaystyle {}t\in S}$ gibt mit ${\displaystyle {}tr\in {\mathfrak {a}}}$. Doch dann ist ${\displaystyle {}[tr]=0}$ in ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}}$ und damit ${\displaystyle {}[r]=0}$ in ${\displaystyle {}{\left(R/{\mathfrak {a}}\right)}_{S}}$. Die Abbildung ist also auch injektiv.