Nichtvollkommener Körper/Regulär/Kählermodul nicht frei/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und

${\displaystyle {}K=\mathbb {Z} /(p)(U)\subseteq R=K[Y]/{\left(Y^{p}-U\right)}\,.}$

Zeige, dass ${\displaystyle {}R\cong K(Y)}$ ist, dass ${\displaystyle {}R}$ regulär ist und dass der Modul der Kähler-Differentiale ${\displaystyle {}\Omega _{R{|}K}}$ nicht frei ist.