Nilpotenter Endomorphismus/Basisbilder/3/Aufgabe/Lösung

a) Die beschreibende Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$

b) Es liegt eine obere Dreiecksmatrix vor, deren Diagonaleinträge alle ${\displaystyle {}0}$ sind, also ist ${\displaystyle {}\varphi }$ nilpotent.

c) Der Kern ist ${\displaystyle {}Ke_{1}\oplus K(e_{2}-e_{3})}$. Größer kann er nicht sein, da es sich nicht um die Nullabbildung handelt.

d) Wir arbeiten mit der Basis

${\displaystyle {}v_{3}=e_{3}\,,}$

${\displaystyle {}\varphi (v_{3})=e_{1}=:v_{2}\,}$

und

${\displaystyle {}v_{1}=e_{2}-2_{3}\,.}$

Die jordansche Normalform bezüglich dieser Basis ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}.}$