Noetherscher Ring/Unterring/Aufgabe/Lösung

Man betrache den Polynomring in zwei Variablen über einem Körper ${\displaystyle K[X,Y]}$. Dieser ist offensichtlich noethersch. In diesem Ring betrachte man den Unterring ${\displaystyle A:=\lbrace Xg(X,Y)+c\mid g\in K[X,Y],c\in K\rbrace }$ und darin die Idealkette ${\displaystyle I_{n}=(X,XY,...,XY^{n})}$. Dann ist ${\displaystyle XY^{n+1}\in I_{n+1}\setminus I_{n}\ \forall n\in \mathbb {N} }$ und somit wird die Kette nicht stationär. A ist also nicht noethersch.