Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie

Für das unten angegebene Quiz werden die folgenden Metriken verwendet.

• ${\displaystyle d_{1}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{o}^{+}\qquad d_{1}(x,y)={\begin{cases}1&x\not =y\\0&x=y\\\end{cases}}}$
• ${\displaystyle d_{2}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{o}^{+}\qquad d_{2}(x,y)=|x-y|}$

Gegeben ist die diskrete Topologie ${\displaystyle (\mathbb {R} ,d_{1})}$ auf den reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die Menge ${\displaystyle [a,b]}$.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
	Sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge, die in ${\displaystyle (\mathbb {R} ,d_{1})}$ gegen ${\displaystyle x_{o}\in \mathbb {R} }$ konvergiert (formal: ${\displaystyle {\stackrel {d_{1}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}}$), dann gibt es ein ${\displaystyle n_{o}\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle x_{n}=x_{o}}$ für alle ${\displaystyle n\geq n_{o}\in \mathbb {N} }$.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
	Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist ${\displaystyle d_{1}}$ (Definition siehe oben)
	Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik ${\displaystyle d_{2}}$ erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
	Jede Teilmenge ${\displaystyle M}$ der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle [a,b]}$.
	Die diskrete Topologie ist Hausdorffsch.
	Sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, für die ein ${\displaystyle n_{o}\in \mathbb {N} }$ existiert, mit ${\displaystyle x_{n}=x_{o}}$ für ${\displaystyle n\geq n_{o}\in \mathbb {N} }$. Dann konvergiert die Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle x_{o}\in \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle (\mathbb {R} ,d_{1})}$ (formal: ${\displaystyle {\stackrel {d_{1}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}}$).
	Das Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
	Sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge, die in ${\displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2})}$ gegen ${\displaystyle x_{o}\in \mathbb {R} }$ konvergiert (formal: ${\displaystyle {\stackrel {d_{2}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}}$), dann gibt es ein ${\displaystyle n_{o}\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle x_{n}=x_{o}}$ für alle ${\displaystyle n\geq n_{o}\in \mathbb {N} }$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die Menge ${\displaystyle (a,b)}$.
	Jede Teilmenge ${\displaystyle M}$ der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
	Die diskrete Topologie ist nicht metrisierbar.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle (a,b)}$.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die leere Menge Menge ${\displaystyle \emptyset }$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
	Sei ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} }$ eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt ${\displaystyle \partial M=\emptyset }$ in der diskreten Topologie.
	Sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ein beliebige Folge und ${\displaystyle x_{o}\in \mathbb {R} }$, dann konvergiert die Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle x_{o}}$ (formal: ${\displaystyle {\stackrel {\tau }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}}$).
	Sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, für die ein ${\displaystyle n_{o}\in \mathbb {N} }$ existiert mit ${\displaystyle x_{n}=x_{o}}$ für ${\displaystyle n\geq n_{o}\in \mathbb {N} }$. Dann konvergiert die Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle x_{o}\in \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle (\mathbb {R} ,d_{2})}$ (formal: ${\displaystyle {\stackrel {d_{2}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}}$).
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die leere Menge Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
	Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik ${\displaystyle d_{1}}$ erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
	Das Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
	Das Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
	Die Randpunkte der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ sind Punkte ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ in der diskreten Topologie.

Gegeben ist die chaotische Topologie ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau )}$ mit ${\displaystyle \tau :=\{\emptyset ,\mathbb {R} \}}$ auf den reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

	Die chaotische Topologie ist nicht metrisierbar.
	Sei ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} }$ eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt ${\displaystyle \partial M=\emptyset }$ in der chaotischen Topologie.
	Jede Teilmenge ${\displaystyle M}$ der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die Menge ${\displaystyle [a,b]}$.
	Das Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie..
	Die chaotische Topologie ist Hausdorffsch.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle (a,b)}$.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle [a,b]}$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die leere Menge Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
	Jede Teilmenge ${\displaystyle M}$ der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die Menge ${\displaystyle (a,b)}$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die leere Menge Menge ${\displaystyle \emptyset }$.
	Das Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
	Die Randpunkte der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ sind Punkte ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ in der chaotischen Topologie.
	Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik ist über ${\displaystyle d_{2}}$(Definition siehe oben)
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle (a,b)}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
	Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist ${\displaystyle d_{1}}$ (Definition siehe oben)
	Das Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
	Sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ein beliebige Folge und ${\displaystyle x_{o}\in \mathbb {R} }$, dann konvergiert die Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle x_{o}}$ (formal: ${\displaystyle {\stackrel {\tau }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}}$.
	Sei ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, für die ${\displaystyle x_{n}=x_{o}}$ für ${\displaystyle n\geq n_{o}\in \mathbb {N} }$ gilt. Dann konvergiert die Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle x_{o}\in \mathbb {R} }$ (formal: ${\displaystyle {\stackrel {\tau }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}}$.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle [a,b]}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Sei ${\displaystyle (X,\tau _{k})}$ gegeben mit

• ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,6}$
• ${\displaystyle X:=\{a,b,c,d,e,f\}}$
• ${\displaystyle \tau _{0}:={\big \{}\emptyset ,X{\big \}}}$
• ${\displaystyle \tau _{1}:={\big \{}\emptyset ,X,\{a,b,c\}{\big \}}}$
• ${\displaystyle \tau _{2}:={\big \{}\emptyset ,X,\{a,b,c\},\{d,e,f\}{\big \}}}$
• ${\displaystyle \tau _{3}:={\big \{}\emptyset ,X,\{a,b,c\},\{c,d,e\}{\big \}}}$
• ${\displaystyle \tau _{4}:={\big \{}\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\}{\big \}}}$
• ${\displaystyle \tau _{5}:={\big \{}\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\}{\big \}}}$
• ${\displaystyle \tau _{6}:={\big \{}\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\},\{f\}{\big \}}}$.

Die folgenden Fragen beziehen sich auf ${\displaystyle (X,\tau _{k})}$ mit einem bestimmte ${\displaystyle k=1,\ldots ,6}$. Dabei untersuchen Sie die oben definierte Grundmenge ${\displaystyle X}$ mit einem Mengensystem ${\displaystyle \tau _{k}}$.

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

	${\displaystyle (X,\tau _{0})}$ ist ein topologischer Raum,
	${\displaystyle (X,\tau _{1})}$ ist ein topologischer Raum,
	${\displaystyle (X,\tau _{2})}$ ist ein topologischer Raum,
	${\displaystyle (X,\tau _{3})}$ ist ein topologischer Raum,
	${\displaystyle (X,\tau _{4})}$ ist ein topologischer Raum,
	${\displaystyle (X,\tau _{5})}$ ist ein topologischer Raum,
	${\displaystyle (X,\tau _{6})}$ ist ein topologischer Raum,
	Für das Mengensystem ${\displaystyle \tau _{6}}$ kann man mit genau einer Teilmenge von ${\displaystyle X}$ erweitern, damit das erweiterte Mengesystem ${\displaystyle {\widetilde {\tau _{6}}}}$ auf ${\displaystyle X}$ wird.
	Für das Mengensystem ${\displaystyle \tau _{6}}$ fehlen genau zwei Teilmengen von ${\displaystyle X}$, damit das erweiterte Mengesystem ${\displaystyle {\widetilde {\tau _{6}}}}$ ein topologischer Raum ist und ${\displaystyle {\widetilde {\tau _{6}}}}$ ein minimale Erweiterung von ${\displaystyle {\widetilde {\tau _{6}}}}$ ist.
	Für das Mengensystem ${\displaystyle \tau _{6}}$ fehlen genau drei Teilmengen von ${\displaystyle X}$, damit das erweiterte Mengesystem ${\displaystyle {\widetilde {\tau _{6}}}}$ ein topologischer Raum ist und ${\displaystyle {\widetilde {\tau _{6}}}}$ ein minimale Erweiterung von ${\displaystyle {\widetilde {\tau _{6}}}}$ ist.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ ist ${\displaystyle \{a,b,c\}}$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ ist ${\displaystyle \{a,b,c\}}$.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ ist ${\displaystyle X}$.
	Die Menge ${\displaystyle \{a,b,c,\}}$ ist in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{1})}$ eine offene Menge.
	Die Menge ${\displaystyle \{a,b,c,\}}$ ist in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{1})}$ eine abgeschlossene Menge.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ ist ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{5})}$.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle \{a,b\}}$ ist ${\displaystyle \{a,b,f\}}$ in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{5})}$ eine abgeschlossene Menge.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle \{a\}}$ ist ${\displaystyle \{a,b,f\}}$ in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{5})}$.
	Der Abschluss der Menge ${\displaystyle \{b\}}$ ist ${\displaystyle \{a,b,f\}}$ in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{5})}$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ ist ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{5})}$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ ist ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{5})}$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ ist ${\displaystyle \{b\}}$ in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{5})}$.
	Der offene Kern der Menge ${\displaystyle \{a,b\}}$ ist ${\displaystyle \emptyset }$ in dem topologischen Raum ${\displaystyle (X,\tau _{5})}$.

Begründen Sie Ihre jeweils Ihre Antworten. Nach dem Absenden der Anworten sehen Sie, welche Antworten korrekt sind bzw. nicht korrekt beantwortet wurden. Ggf. können Sie dieses auch als Hilfe verwenden, um die Begründung für Ihre Antworten noch einmal zu überdenken.

• diskrete Topologie
• Chaotische Topologie oder triviale Topologie
• Hilfe:Quiz