Normenäquivalenzsatz

Seien zwei Normen ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ auf dem ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum ${\displaystyle V}$ gegeben. Die beiden Normen sind äquivalent, wenn gilt:

${\displaystyle \exists _{C_{1},C_{2}>0}\forall _{x\in V}\ :\ C_{1}\|x\|_{1}\leq \|x\|_{2}\leq C_{2}\|x\|_{1}}$

Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann in ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ konvergiert, wenn diese Folge auch bzgl. ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ konvergiert.

Auf endlichdimensionalen ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorräumen ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} ,\mathbb {R} }$ sind alle Normen äquivalent.

Man zeigt in dem Beweis, dass eine beliebige Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ auf ${\displaystyle V}$ äquivalent zu einer speziellen Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ ist und nutzt die Eigenschaft aus, dass die Äquivalenz von Normen eine Äquivalenzrelation ist. In dem Beweis der Ungleichungskette für die beiden Normen geht der Satz von Bolzano-Weierstraß für endlich dimensionale Vektorräume ein, um die Abschätzung zu zeigen, dass ein ${\displaystyle C_{1}>0}$ existiert mit ${\displaystyle C_{1}\cdot \|v\|_{B}\leq \|v\|}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$ gilt.

Dabei ist die Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ bezüglich einer frei wählbaren Basis ${\displaystyle B=(b_{1},\ldots ,b_{n})}$ auf ${\displaystyle V}$ wie folgt definiert:

${\displaystyle \|v\|_{B}:=\max _{i\in \{1,...,n\}}|\lambda _{i}|}$

wobei ${\displaystyle (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb {K} ^{n}}$ der Koordinatenvektor von ${\displaystyle v}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle B}$ ist, der für jedes ${\displaystyle v\in V}$ eindeutig bestimmt ist, d.h. es gilt

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot b_{i}}$,

Sei ${\displaystyle v\in V}$ beliebig gewählt, dann gilt unter Verwendung der Homogenität einer Norm und der Dreiecksungleichung:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\|v\|&=&\left\|\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot b_{i}\right\|\\&\leq &\sum _{i=1}^{n}\left\|\lambda _{i}\cdot b_{i}\right\|=\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|\cdot \left\|b_{i}\right\|\\&\leq &\sum _{i=1}^{n}\|v\|_{B}\cdot \left\|b_{i}\right\|=\|v\|_{B}\cdot \underbrace {\sum _{i=1}^{n}\left\|b_{i}\right\|} _{=:C_{2}}\\\end{array}}}$,

Wir betrachten nun die Einschränkung der Funktion${\displaystyle \displaystyle \|\cdot \|:\partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})\to \mathbb {R} }$. Man definiert dazu den Rand der Einheitskugel ${\displaystyle \displaystyle \quad {\mbox{auf}}\quad x\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V}):=\{x\in V\vert \,\|x\|_{B}=1\}\subset V}$ bzgl. der beliebig gewählten Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$.

Die Menge ${\displaystyle \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$ ist bezüglich ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von ${\displaystyle V}$ (bzw. ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$). Für endlich dimensionale ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorräume ist eine solche Menge nach dem von Satz von Heine-Borel kompakt.

Das Minimum und Maximum der stetigen Funktion ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert :\partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})\to \mathbb {R} }$ existiert nach dem Satz von Weierstrass und wird durch ein Element ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$ auf dem kompakten Definitionsbereich angenommen.

• Minimum: ${\displaystyle C_{1}:=\min _{w\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}\Vert w\Vert =\Vert w_{1}\Vert }$
• Maximum: ${\displaystyle C_{0}:=\max _{w\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}\Vert w\Vert =\Vert w_{2}\Vert }$

für geeignet gewähltes ${\displaystyle w_{1},w_{2}}$. Weil ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$ gilt, ${\displaystyle \|w_{1}\|_{B}=1}$ und ${\displaystyle \|w_{2}\|_{B}=1}$ und weil auch ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine Norm auf dem endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ ist, muss ${\displaystyle \|w_{1}\|>0}$ und ${\displaystyle \|w_{2}\|>0}$ gelten.

Mit der Fallunterscheidung für ${\displaystyle v=0_{V}}$ und ${\displaystyle v\not =0_{V}}$ erhält man mit:

• Fall 1: ${\displaystyle v=0_{V}}$ sowohl ${\displaystyle \|0_{V}\|=\|0_{V}\|_{B}=0}$, weil beide Abbildungen ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|}$ Normen sind. Damit gilt auch ${\displaystyle C\cdot \|0_{V}\|_{B}=\|0_{V}\|}$ für eine beliebige ${\displaystyle C>0}$.
• Fall 2: ${\displaystyle v\not =0_{V}}$ gilt ${\displaystyle w:={\frac {v}{\|v\|_{B}}}\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$. Ferner gilt ${\displaystyle \|v\|_{B}\cdot w=v}$.

Da in Fall 1 ein beliebiges ${\displaystyle C>0}$ die Abschätzung nach unter erfüllt, erhält man das ${\displaystyle C_{1}}$ der Abschätzung nach unten für ${\displaystyle v\not =0_{V}}$ mit ${\displaystyle w:={\frac {v}{\|v\|_{B}}}\in \partial {\mathcal {B}}_{1}^{\|\cdot \|_{B}}(0_{V})}$ über:

${\displaystyle \|v\|=\left\|\|v\|_{B}\cdot w\right\|{\stackrel {Hom}{=}}\|v\|_{B}\cdot \left\|w\right\|{\stackrel {(B4)}{\geq }}\|v\|_{B}\cdot \left\|w_{1}\right\|=\|v\|_{B}\cdot C_{1}}$

Insgesamt liefern die Beweisschritte 2,5 und 6 für alle ${\displaystyle v\in V}$ aus dem endlichdimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ die gesuchte Ungleichung:

${\displaystyle C_{1}\cdot \|v\|_{B}\leq \|v\|\leq C_{2}\cdot \|v\|_{B}}$.

Damit sind die beiden Normen ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|}$ äquivalent.

Die Äquivalenz von Normen ist eine Äquivalenzrelation. Da die Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ beliebig auf ${\displaystyle V}$ gewählt war, sind mit dem obigen Beweis alle Normen äquivalent zur Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{B}}$. Da Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation auf der Menge der Normen auf ${\displaystyle V}$ ist, sind alle Normen in einem endlichdimensionalen Vektorräume äquivalent. q.e.d.

Diese Aussage gilt nicht mehr auf unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen, da dort die Einheitskugel zwar abgeschlossen und beschränkt ist, aber nicht mehr kompakt.

• (A1) (Konvergenz) Sei ${\displaystyle V}$ ein beliebiger ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum (nicht notwendig endlichdimensional). Ferner seien zwei Normen ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ auf ${\displaystyle V}$ gegeben, die äquivalent sind. Zeigen Sie, dass eine Folge ${\displaystyle (v_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V^{\mathbb {N} }}$ genau dann in ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{1})}$ konvergiert, wenn diese auch in ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{2})}$ konvergiert.
• (A2) (Äquivalenzrelation) Zeigen Sie, dass Normäquivalenz ist Äquivalenzrelation auf der Menge der Normen ist.
• (A3) (Abschätzung nach oben) In Beweisschritt 4 wird ebenfalls das Maximum ${\displaystyle C_{0}}$ mit ${\displaystyle w_{2}}$ auf dem Kompaktum angenommen. Wie können Sie den Beweisschritt 2 durch ein solches Argument für die Abschätzung nach durch das Maximum ersetzen?

Der erste Beweisteil zeigt noch einmal den grundlegenden Umgang mit Normen bzgl. der Dreieckungleichung und Homogenität. Der Beweis kann durch die Ersetzung Beweisschritt 4 verkürzt werden.

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• Äquivalenzrelation
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