Nullstelle/x^3-3x+1/0 bis 1/Achtel/Aufgabe/Lösung

Wegen ${\displaystyle {}f(0)=1}$ und ${\displaystyle {}f(1)=-1}$ muss nach dem Zwischenwertsatz im Intervall ${\displaystyle {}[0,1]}$ eine Nullstelle von ${\displaystyle {}f}$ liegen.

Die Intervallmitte ist ${\displaystyle {}{\frac {1}{2}}}$, dort hat ${\displaystyle {}f}$ den Wert

${\displaystyle {}f{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\left({\frac {1}{2}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {1}{2}}\right)}+1={\frac {1-12+8}{8}}=-{\frac {3}{8}}\,.}$

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall ${\displaystyle {}[0,{\frac {1}{2}}]}$ liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist ${\displaystyle {}{\frac {1}{4}}}$, dort hat ${\displaystyle {}f}$ den Wert

${\displaystyle {}f{\left({\frac {1}{4}}\right)}={\left({\frac {1}{4}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {1}{4}}\right)}+1={\frac {1-48+64}{64}}={\frac {17}{64}}\,.}$

Dies ist positiv, also muss eine Nullstelle im Intervall ${\displaystyle {}[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}]}$ liegen.

Die Intervallmitte von diesem Intervall ist ${\displaystyle {}{\frac {3}{8}}}$, dort hat ${\displaystyle {}f}$ den Wert

${\displaystyle {}f{\left({\frac {3}{8}}\right)}={\left({\frac {3}{8}}\right)}^{3}-3{\left({\frac {3}{8}}\right)}+1={\frac {27-576+512}{512}}=-{\frac {37}{512}}\,.}$

Dies ist negativ, also muss eine Nullstelle im Intervall ${\displaystyle {}[{\frac {1}{4}},{\frac {3}{8}}]=[{\frac {2}{8}},{\frac {3}{8}}]}$ liegen. Die Länge dieses Intervalls ist ${\displaystyle {}{\frac {1}{8}}}$.