Nullstellen/x^2 + sin x/Aufgabe/Lösung

Bei ${\displaystyle {}x=0}$ liegt eine Nullstelle vor. Auf ${\displaystyle {}]0,\pi [}$ sind beide Summanden positiv, und für ${\displaystyle {}x\geq \pi }$ ist ${\displaystyle {}x^{2}\geq 9}$, sodass, da ${\displaystyle {}\sin x}$ zwischen ${\displaystyle {}{-1}}$ und ${\displaystyle {}1}$ liegt, jenseits von ${\displaystyle {}0}$ keine Nullstelle liegen kann. Für ${\displaystyle {}x<-1}$ ist wiederum ${\displaystyle {}x^{2}>1}$, sodass unterhalb von ${\displaystyle {}{-1}}$ auch keine Nullstelle liegen kann. Für das Intervall ${\displaystyle {}[-1,0]}$ ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

${\displaystyle {}f'(x)=2x+\cos x\,.}$

Beide Funktion sind in diesem Intervall streng wachsend, daher ist die Ableitung streng wachsend und besitzt auf ${\displaystyle {}]{-1},0[}$ höchstens eine Nullstelle. Es ist ${\displaystyle {}f'(0)=1>0}$, sodass im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen kann. Daher muss die Funktion auf ${\displaystyle {}]{-1},0[}$ auch negative Werte annehmen. Wegen ${\displaystyle {}f(-1)=1+\sin \left(-1\right)>0}$ muss ${\displaystyle {}f}$ nach dem Zwischenwertsatz in ${\displaystyle {}]{-1},0[}$ mindestens eine weitere Nullstelle besitzen. Wenn es zwei Nullstellen ${\displaystyle {}{-1}<c<d<0}$ geben würde, so hätte nach dem Satz von Rolle die Ableitung sowohl auf ${\displaystyle {}]c,d[}$ als auch auf ${\displaystyle {}]d,0[}$ eine Nullstelle, was wir schon ausgeschlossen haben.