Nullstellenfreie Funktion/Diagonalmatrix/Umkehrbarkeit/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$

eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion und sei ${\displaystyle {}g}$ eine Stammfunktion zu ${\displaystyle {}f}$. Es sei

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}}$

mit

${\displaystyle {}\varphi (x,y)=\left({\frac {x}{f(y)}},\,g(y)\right)\,.}$

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$.

b) Zeige, dass man auf ${\displaystyle {}\varphi }$ in jedem Punkt den Satz über die lokale Umkehrbarkeit anwenden kann.

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ injektiv ist.