Numerisches Monoid/4,7,17/Invarianten/Aufgabe/Lösung

Zu dem Monoid gehören alle Vielfachen von ${\displaystyle {}4}$, also

${\displaystyle 4,8,12,16,20,24,\ldots .}$

Dann alle Summen aus ${\displaystyle {}7}$ mit einem Vielfachen von ${\displaystyle {}4}$, also

${\displaystyle 7,11,15,19,23,\ldots .}$

Dazu alle Summen aus ${\displaystyle {}2\cdot 7=14}$ mit einem Vielfachen von ${\displaystyle {}4}$, also

${\displaystyle 14,18,22,26,\ldots .}$

Dazu alle Summen aus ${\displaystyle {}3\cdot 7=21}$ mit einem Vielfachen von ${\displaystyle {}4}$, also

${\displaystyle 21,25,\ldots .}$

Damit sind alle Zahlen ab ${\displaystyle {}18}$ abgedeckt, da es für jede Restklasse modulo ${\displaystyle {}4}$ einen Vertreter im Monoid gibt. Da ${\displaystyle {}17}$ zur Verfügung steht, gehören ab ${\displaystyle {}14}$ alle Zahlen zum Monoid. Die Führungszahl ist also ${\displaystyle {}14}$. Die Multiplizität ist die kleinste positive Zahl im Monoid, also ${\displaystyle {}4}$. Die Einbettungsdimension ist die minimale Anzahl der Erzeuger, also ${\displaystyle {}3}$, da man auf die ${\displaystyle {}17}$ nicht verzichten kann. Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken, es fehlen

${\displaystyle 1,2,3,5,6,9,10,13,}$

${\displaystyle {}8}$