Numerisches Monoid/N ab e/Hilbert-Funktion/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}nM_{+}=\mathbb {N} _{\geq ne}\,.}$

Die Zugehörigkeit ${\displaystyle {}k\in nM_{+}}$ bedeutet, dass es ${\displaystyle {}n}$ Elemente ${\displaystyle {}m_{1},\ldots ,m_{n}\in M_{+}=\mathbb {N} _{\geq e}}$ mit

${\displaystyle {}k=m_{1}+\cdots +m_{n}\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}n_{j}\geq e}$ ist ${\displaystyle {}k\geq ne}$. Wenn umgekehrt ${\displaystyle {}k\geq ne}$ gilt, so kann man

${\displaystyle {}k=(n-1)e+m\,}$

mit ${\displaystyle {}m\geq e}$ schreiben, also ist ${\displaystyle {}k\in nM_{+}}$.

${\displaystyle {}M\setminus nM_{+}=M\setminus \mathbb {N} _{\geq ne}=\{0,1,\ldots ,ne-1\}\,,}$

diese Menge besitzt somit ${\displaystyle {}ne}$ Elemente.

${\displaystyle {}{\begin{aligned}K[M]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}&\cong K[M]/{\mathfrak {m}}^{n}\\&=K[M]/(nM_{+})\\&=K[M]/(\mathbb {N} _{\geq en})\\&=K\langle T^{m},\,0\leq m<en\rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle {}K}$

${\displaystyle {}K[M]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{n}}$

${\displaystyle {}ne}$