Numerisches Monoid/Singularitätsgrad/Ringkette/Aufgabe/Lösung

Der Singularitätsgrad ${\displaystyle {}\delta }$ ist die Anzahl der Lücken von ${\displaystyle {}M}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$, der nach Fakt mit ${\displaystyle {}\dim _{K}(R^{\operatorname {norm} }/R)=\dim _{K}(K[T]/K[M])}$ übereinstimmt.

1. Bei einer Kette von Monoiden

   ${\displaystyle {}M=M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \ldots \subset M_{n}=\mathbb {N} \,}$

   muss in jedem Schritt mindestens ein Element hinzukommen, sodass ${\displaystyle {}n\leq \delta }$ ist. Wenn man ${\displaystyle {}M_{i+1}}$ sukzessive dadurch definiert, dass man zu ${\displaystyle {}M_{i}}$ das größte Element hinzunimmt, das nicht zu ${\displaystyle {}M_{i}}$ gehört, so ist dies ein Monoid, das genau ein Element mehr als ${\displaystyle {}M_{i}}$ besitzt. Dieses Verfahren ergibt eine Kette der Länge ${\displaystyle {}\delta }$ wie gewünscht.

2. Zur Kette der Länge ${\displaystyle {}\delta }$ gehört die Kette von ${\displaystyle {}K}$-Algebren

   ${\displaystyle {}K[M]=K[M_{0}]\subset K[M_{1}]\subset K[M_{2}]\subset \ldots \subset K[M_{\delta }]=K[\mathbb {N} ]\,,}$

   wobei die Inklusionen echt sind, da zu ${\displaystyle {}T^{m}\in M_{i+1}\setminus M_{i}}$ auch ${\displaystyle {}T^{m}\in K[M_{i+1}]\setminus K[M_{i}]}$ gilt. Dass es keine längeren Ketten gibt, wird allgemeiner in Teil (3) begründet.

3. Die Algebrakette aus Teil (2) ist insbesondere eine Kette von ${\displaystyle {}K}$-Untervektorräumen. Wegen

   ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(K[\mathbb {N} ]/K[M]\right)}=\delta \,}$

   kann es keine längeren Ketten von Untervektorräumen geben, da diese den Ketten im Restklassenraum ${\displaystyle {}K[\mathbb {N} ]/K[M]}$ entsprechen und es in einem Vektorraum der Dimension ${\displaystyle {}\delta }$ nur Ketten der maximalen Länge ${\displaystyle {}\delta }$ geben kann.