NxZ mod n/C/Komponenten/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\mathbb {C} }[M]&={\mathbb {C} }[S,T]/(S^{n}-1)\\&={\mathbb {C} }[T][S]/(S^{n}-1)\\&={\mathbb {C} }[T][S]/(\prod _{\eta }(S-\zeta ))\\&={\mathbb {C} }[S]/(\prod _{\eta }(S-\zeta ))[T],\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle {}\zeta }$ die ${\displaystyle {}n}$ komplexen Einheitswurzeln durchläuft. Es ist

${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[S]/(\prod _{\eta }(S-\zeta ))\cong {\mathbb {C} }^{n}\,,}$

wobei die Abbildung durch ${\displaystyle {}S\mapsto (\zeta _{0},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n-1})}$ gegeben ist. Daher ist

${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[S]/(\prod _{\eta }(S-\zeta ))[T]\cong {\mathbb {C} }^{n}[T]=({\mathbb {C} }[T])^{n}\,}$

ein Produktring aus ${\displaystyle {}n}$ Polynomringen ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }[T]}$. Daher besteht das ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-Spektrum dieses Ringes nach Fakt aus der ${\displaystyle {}n}$-fachen disjunkten Vereinigung von

${\displaystyle {}\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T]\right)}={\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{1}\,.}$