Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt/Beweis

${\displaystyle {}\varphi }$ ist wegen ${\displaystyle {}-{\mathrm {i} }\notin {\mathbb {H} }}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }}$ definiert. Wir zeigen

${\displaystyle {}\vert {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}\vert <1\,,}$

was zu

${\displaystyle {}\vert {z-{\mathrm {i} }}\vert <\vert {z+{\mathrm {i} }}\vert \,}$

äquivalent ist. Mit ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }}$ ist dies äquivalent zu

${\displaystyle {}a^{2}+(b+1)^{2}>a^{2}+(b-1)^{2}\,,}$

was wiederum äquivalent zu

${\displaystyle {}b^{2}+2b+1>b^{2}-2b+1\,}$

ist, was wegen ${\displaystyle {}b>0}$ stimmt.

Für ${\displaystyle {}\vert {w}\vert <1}$ ist direkt ${\displaystyle {}1-w\neq 0}$, daher ist ${\displaystyle {}\psi }$ definiert. Sei ${\displaystyle {}w=c+d{\mathrm {i} }}$ mit ${\displaystyle {}c^{2}+d^{2}<1}$. Dann ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}&={\frac {(c+1+d{\mathrm {i} }){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d+(c+1){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d+(c+1){\mathrm {i} }}{1-c-d{\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {1-c+d{\mathrm {i} }}{1-c+d{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {-d(1-c)-d(c+1)+((1+c)(1-c)-d^{2}){\mathrm {i} }}{(1-c)^{2}+d^{2}}}.\end{aligned}}}$

Da der Nenner eine positive reelle Zahl ist, ist der Imaginärteil dieser Zahl wegen

${\displaystyle {}1-c^{2}-d^{2}>0\,}$

positiv, also liegt das Bild von ${\displaystyle {}\psi }$ in ${\displaystyle {}{\mathbb {H} }}$.

Wir berechnen nun die Hintereinanderschaltungen. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi (\psi (w))&=\varphi \left({\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}\right)\\&={\frac {{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}-{\mathrm {i} }}{{\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}+{\mathrm {i} }}}\\&={\frac {(w+1){\mathrm {i} }-(1-w){\mathrm {i} }}{(w+1){\mathrm {i} }+(1-w){\mathrm {i} }}}\\&={\frac {2w{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}\\&=w\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\psi (\varphi (z))&=\psi {\left({\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}\right)}\\&={\frac {{\left({\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}+1\right)}{\mathrm {i} }}{1-{\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}}}}\\&={\frac {(z-{\mathrm {i} }+z+{\mathrm {i} }){\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }-(z-{\mathrm {i} })}}\\&={\frac {2z{\mathrm {i} }}{2{\mathrm {i} }}}\\&=z.\end{aligned}}}$