Obere Halbkugel/Graph/Fläche/Aufgabe/Lösung

Die obere Sphärenhälfte ist der Graph zur Funktion

${\displaystyle \psi \colon B\left(0,1\right)\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(u,v)\longmapsto {\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}.}$

Die partiellen Ableitungen der Parametrisierung dieses Graphen sind ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}1\\0\\{\frac {-u}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0\\1\\{\frac {-v}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}\end{pmatrix}}}$ und daher ist nach Fakt die Wurzelfunktion aus

${\displaystyle {}1+{\frac {u^{2}}{1-u^{2}-v^{2}}}+{\frac {v^{2}}{1-u^{2}-v^{2}}}={\frac {1}{1-u^{2}-v^{2}}}\,}$

ausschlaggebend. Der Flächeninhalt der halben Einheitssphäre ist somit

${\displaystyle \int _{B}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}d\lambda ^{2}.}$

Mit der Substitution ${\displaystyle {}u={\sqrt {w}}\cos \alpha }$ und ${\displaystyle {}v={\sqrt {w}}\sin \alpha }$ ergibt sich mit der Transformationsformel unter Verwendung von Aufgabe

${\displaystyle {}\int _{B}{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}-v^{2}}}}d\lambda ^{2}=\int _{[0,2\pi ]\times [0,1]}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-w}}}d\lambda ^{2}=\pi \cdot \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-w}}}dw=\pi \cdot (-2{\sqrt {1-w}}){|}_{0}^{1}=2\pi \,.}$

${\displaystyle {}4\pi }$