Parabelschar/Eingeschlossene Fläche/1/Aufgabe/Lösung

Damit es zu einem Einschluss kommt, muss ${\displaystyle {}a}$ negativ sein. Die Nullstellen von ${\displaystyle {}x^{2}+a}$ sind dann ${\displaystyle {}\pm {\sqrt {-a}}}$. Das bestimmte Integral ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{-{\sqrt {-a}}}^{\sqrt {-a}}x^{2}+adx&=\left({\frac {1}{3}}x^{3}+ax\right)|_{-{\sqrt {-a}}}^{\sqrt {-a}}\\&={\frac {2}{3}}{\sqrt {-a}}^{3}+2a{\sqrt {-a}}\\&=-{\frac {2}{3}}a{\sqrt {-a}}+2a{\sqrt {-a}}\\&={\frac {4}{3}}a{\sqrt {-a}}.\end{aligned}}}$

Damit dies gleich ${\displaystyle {}-1}$ wird, muss ${\displaystyle {}a}$ die Gleichung

${\displaystyle {}a{\sqrt {-a}}=-{\frac {3}{4}}\,}$

bzw.

${\displaystyle {}{\sqrt {-a}}^{3}={\frac {3}{4}}\,}$

erfüllen. Also ist

${\displaystyle {}(-a)^{3}={\frac {9}{16}}\,}$

und

${\displaystyle {}a=-{\sqrt[{3}]{\frac {9}{16}}}\,.}$