Partialbruchzerlegung/4s durch s^4-2s^2+1/Aufgabe/Lösung

Es ist

${\displaystyle {}{\frac {4s}{s^{4}-2s^{2}+1}}={\frac {4s}{(s^{2}-1)^{2}}}={\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}\,.}$

Damit liegt die Faktorzerlegung des Nenners vor, sodass die Partialbruchzerlegung die Gestalt

${\displaystyle {}{\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}={\frac {a}{(s-1)}}+{\frac {b}{(s-1)^{2}}}+{\frac {c}{(s+1)}}+{\frac {d}{(s+1)^{2}}}\,}$

mit reellen Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ besitzt. Multiplikation mit dem Hauptnenner ergibt

${\displaystyle {}4s=a(s-1)(s+1)^{2}+b(s+1)^{2}+c(s+1)(s-1)^{2}+d(s-1)^{2}\,.}$

Einsetzen von ${\displaystyle {}s=1}$ ergibt ${\displaystyle {}4=4b}$, also ${\displaystyle {}b=1}$.

Einsetzen von ${\displaystyle {}s=-1}$ ergibt ${\displaystyle {}-4=4d}$, also ${\displaystyle {}d=-1}$.

Einsetzen von ${\displaystyle {}s=0}$ ergibt ${\displaystyle {}0=-a+b+c+d}$, also ist ${\displaystyle {}-a+c=0}$, also ${\displaystyle {}a=c}$.

Einsetzen von ${\displaystyle {}s=2}$ ergibt

${\displaystyle {}8=9a+9b+3c+d=9a+9+3c-1\,.}$

Also ist ${\displaystyle {}9a+3c=0}$ und daher ${\displaystyle {}a=c=0}$. Die Partialbruchzerlegung ist also

${\displaystyle {}{\frac {4s}{(s-1)^{2}(s+1)^{2}}}={\frac {1}{(s-1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\,.}$