Partialbruchzerlegung/Q/1 durch (X^4+1)(X^2+1)/Aufgabe/Lösung

a) Das Polynom ${\displaystyle {}X^{2}+1}$ ist für rationale (auch reelle) Zahlen stets positiv und besitzt daher keine Nullstelle. Nach Fakt ist es somit irreduzibel.

b) Über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ hat man die Faktorisierung

${\displaystyle {}X^{4}+1={\left(X^{2}+{\sqrt {2}}X+1\right)}{\left(X^{2}-{\sqrt {2}}X+1\right)}\,.}$

Die beiden Faktoren haben keine reelle Nullstelle, da ${\displaystyle {}X^{4}+1}$ stets positiv ist. Eine Zerlegung über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ würde zu der gegebenen Zerlegung über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ führen, wegen ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q} }$ gehören aber ${\displaystyle {}X^{2}+{\sqrt {2}}X+1,\,X^{2}-{\sqrt {2}}X+1}$ nicht zu ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$. Das Polynom ist also irreduzibel in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]}$.

c) Wir machen den Ansatz

${\displaystyle {}{\frac {1}{{\left(X^{4}+1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {1}{X^{6}+X^{4}+X^{2}+1}}={\frac {aX^{3}+bX^{2}+cX+d}{X^{4}+1}}+{\frac {eX+f}{X^{2}+1}}\,.}$

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1&=(aX^{3}+bX^{2}+cX+d)(X^{2}+1)+(eX+f)(X^{4}+1)\\&=(a+e)X^{5}+(b+f)X^{4}+(a+c)X^{3}+(b+d)X^{2}+(c+e)X+d+f.\end{aligned}}}$

Also ist

${\displaystyle {}a+e=b+f=a+c=b+d=c+e=0\,}$

und

${\displaystyle {}d+f=1\,.}$

Aus

${\displaystyle a+e=0,\,a+c=0{\text{ und }}c+e=0}$

folgt durch Addition der ersten beiden Gleichungen ${\displaystyle {}2a=0}$ und damit

${\displaystyle {}a=c=e=0\,.}$

Aus

${\displaystyle {}b+f=b+d=0\,}$

folgt

${\displaystyle {}d-f=0\,,}$

also

${\displaystyle {}d=f\,}$

und aus

${\displaystyle {}d+f=1\,}$

ergibt sich

${\displaystyle {}d=f={\frac {1}{2}}\,}$

und somit

${\displaystyle {}b=-{\frac {1}{2}}\,.}$

Die Partialbruchzerlegung ist also

${\displaystyle {}{\frac {1}{{\left(X^{4}+1\right)}{\left(X^{2}+1\right)}}}={\frac {-{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{2}}}{X^{4}+1}}+{\frac {\frac {1}{2}}{X^{2}+1}}\,.}$