Partialbruchzerlegung/Zmod5/1 durch (X^2)(X^3+X+1)/Aufgabe/Lösung

a) Das Polynom ${\displaystyle {}X^{2}+2}$ besitzt für ${\displaystyle {}0,1,2,3,4}$ die Werte ${\displaystyle {}2,3,1,1,3}$, ist also nullstellenfrei. Nach Fakt ist es somit irreduzibel.

b) Das Polynom ${\displaystyle {}X^{3}+X+1}$ besitzt für ${\displaystyle {}0,1,2,3,4}$ die Werte ${\displaystyle {}1,3,1,1,4}$, ist also nullstellenfrei und damit wieder irreduzibel.

c) Wir machen den Ansatz

${\displaystyle {}{\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}={\frac {aX+b}{X^{2}+2}}+{\frac {cX^{2}+dX+e}{X^{3}+X+1}}\,.}$

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1&=(aX+b)(X^{3}+X+1)+(cX^{2}+dX+e)(X^{2}+2)\\&=(a+c)X^{4}+(b+d)X^{3}+(a+e+2c)X^{2}+(a+b+2d)X+b+2e.\end{aligned}}}$

Also ist

${\displaystyle {}a+c=b+d=a+e+2c=a+b+2d=0\,}$

und

${\displaystyle {}b+2e=1\,.}$

Wir schreiben

${\displaystyle {}a=-c\,}$

und

${\displaystyle {}b=-d\,.}$

Einsetzen ergibt

${\displaystyle {}e+c=0\,}$

und

${\displaystyle {}-c+d=0\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}e+d=0\,}$

und

${\displaystyle {}-d+2e=1\,,}$

was zu

${\displaystyle {}3e=1\,,}$

also

${\displaystyle {}e=3^{-1}=2\,}$

führt. Damit ist

${\displaystyle {}e=a=b=2\,}$

und

${\displaystyle {}c=d=3\,.}$

Die Partialbruchzerlegung ist also

${\displaystyle {}{\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}={\frac {2X+2}{X^{2}+2}}+{\frac {3X^{2}+3X+2}{X^{3}+X+1}}\,.}$