Partialbruchzerlegung/x^3+7x^2-5x+4 durch x^2-3/Aufgabe/Lösung

Division mit Rest ergibt

${\displaystyle {}x^{3}+7x^{2}-5x+4=(x^{2}-3)(x+7)-2x+25\,.}$

Daher ist

${\displaystyle {}{\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}=x+7+{\frac {-2x+25}{x^{2}-3}}\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}x^{2}-3=(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})}$ machen wir den Ansatz

${\displaystyle {}{\frac {-2x+25}{x^{2}-3}}={\frac {a}{x-{\sqrt {3}}}}+{\frac {b}{x+{\sqrt {3}}}}\,.}$

Dies führt auf

${\displaystyle {}{\begin{aligned}-2x+25&=a(x+{\sqrt {3}})+b(x-{\sqrt {3}})\\&=(a+b)x+(a-b){\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

Somit ist ${\displaystyle {}a+b=-2}$ und ${\displaystyle {}a-b={\frac {25}{\sqrt {3}}}}$, woraus sich ${\displaystyle {}2a=-2+{\frac {25}{\sqrt {3}}}}$ und ${\displaystyle {}2b=-2-{\frac {25}{\sqrt {3}}}}$ ergibt. Also ist

${\displaystyle a=-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ und }}b=-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}.}$

Somit ist die Partialbruchzerlegung gleich

${\displaystyle {}{\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}=x+7+{\frac {-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}}{x-{\sqrt {3}}}}+{\frac {-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}}{x+{\sqrt {3}}}}\,.}$