Periodische Funktion/Kreis/Faktorisierung/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }}$

eine Funktion und sei ${\displaystyle {}T>0}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}f}$ genau dann ${\displaystyle {}T}$-periodisch ist, wenn es eine Faktorisierung

${\displaystyle \mathbb {R} {\stackrel {p}{\longrightarrow }}S^{1}{\stackrel {\tilde {f}}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }}$

gibt, wobei ${\displaystyle {}p}$ die Quotientenabbildung modulo der Untergruppe ${\displaystyle {}\mathbb {Z} T\subseteq \mathbb {R} }$ ist.