Permutationsgruppe/Operation auf Polynomring/Ungerade Invarianten/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ .

Dann gilt für die natürliche Operation der Permutationsgruppe ${}S_{n}$ auf dem ${}K^{n}$ die Gleichheit

${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\operatorname {sgn} }^{S_{n}}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{S_{n}}\cdot \triangle \,,$

wobei ${}\triangle =\prod _{j<i}(X_{i}-X_{j})$ die Vandermondesche Determinante ist.