Polynom/Bezout/X^3+1 und X^2-1/Aufgabe/Lösung

Beide Polynome haben ${\displaystyle {}-1}$ als Nullstelle, es ist

${\displaystyle {}X^{3}+1={\left(X+1\right)}{\left(X^{2}-X+1\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}X^{2}-1={\left(X+1\right)}{\left(X-1\right)}\,.}$

Wir arbeiten mit den beiden Gegenfaktoren weiter. Es ist

${\displaystyle {}X^{2}-X+1=X{\left(X-1\right)}+1\,,}$

somit sind die beiden Polynome teilerfremd und es gibt die Darstellung

${\displaystyle {}X^{2}-X+1-X{\left(X-1\right)}=1\,.}$

Deshalb ist

${\displaystyle {}{\left(X^{3}+1\right)}-X{\left(X^{2}-1\right)}=X+1\,}$

${\displaystyle {}X+1}$