Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt/Beweis

Es ist

${\displaystyle {}f=\sum _{d=0}^{m}f_{d}\,}$

mit

${\displaystyle {}f_{d}=\sum _{\nu :\,\vert {\,\nu \,}\vert =d}c_{\nu }X^{\nu }\,.}$

Die Einsetzung für ein Monom ${\displaystyle {}X^{\nu }}$ ergibt nach dem Distributivgesetz

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\alpha _{1}^{\nu _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\nu _{n}}&={\left(a_{1}t+b_{1}\right)}^{\nu _{1}}\cdots {\left(a_{n}t+b_{n}\right)}^{\nu _{n}}\\&=a_{1}^{\nu _{1}}\cdots a_{n}^{\nu _{n}}t^{\nu _{1}+\cdots +\nu _{n}}+\sum _{j=0}^{\vert {\,\nu \,}\vert -1}h_{j}(a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{n})t^{j}\end{aligned}}}$

mit Polynomen ${\displaystyle {}h_{j}}$ in den ${\displaystyle {}a_{i},b_{i}}$. Die Monome von einem bestimmten Grad tragen nach der Einsetzung zu diesem Grad und zu den kleineren Graden bei, aber nicht zu einem höheren Grad. Daher hat ${\displaystyle {}f_{\alpha }}$ maximal den Grad ${\displaystyle {}m}$ und sein Leitkoeffizient (vorausgesetzt, dass dieser Term nicht ${\displaystyle {}0}$ ist), ist

${\displaystyle {}\sum _{\vert {\,\nu \,}\vert =m}c_{\nu }a^{\nu }=f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})\,.}$

Wegen ${\displaystyle {}f_{m}\neq 0}$ gibt es (bei ${\displaystyle {}K}$ unendlich) Punkte ${\displaystyle {}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}}$ mit

${\displaystyle {}f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0\,,}$

und dies gilt auf der Zariski-offenen Menge ${\displaystyle {}V(f_{m})}$ im Parameterraum.