Polynom/Zwei Variablen/Gemischte Interpolation/3/Aufgabe/Lösung

Wegen der ersten Bedingung können wir direkt ${\displaystyle {}f}$ als

${\displaystyle {}f=ax+by+cx^{2}+dxy+ey^{2}\,}$

ansetzen. Wegen der zweiten Bedingung ist ${\displaystyle {}a+b+c+d+e=2}$. Die partielle Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ nach ${\displaystyle {}x}$ ist

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x}}=a+2cx+dy\,}$

und die partielle Ableitung von ${\displaystyle {}f}$ nach ${\displaystyle {}y}$ ist

${\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial y}}=b+dx+2ey\,.}$

Die dritte Bedingung ergibt ${\displaystyle {}a=1}$ und die fünfte Bedingung ergibt ${\displaystyle {}1+2c+d=2}$. Die vierte Bedingung ergibt ${\displaystyle {}b=-2}$ und die sechste Bedingung ergibt

${\displaystyle {}-2+d+2e=3\,.}$

Für die verbleibenden Unbekannten ${\displaystyle {}c,d,e}$ haben wir also insgesamt das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {}c+d+e=3\,,}$

${\displaystyle {}2c+d=1\,,}$

${\displaystyle {}d+2e=5\,.}$

Aus den beiden ersten Gleichungen ergibt sich

${\displaystyle {}d+2e=5\,,}$

die letzte Gleichung ist also nicht nötig. Eine Lösung ist ${\displaystyle {}c=1}$, ${\displaystyle {}d=-1}$, ${\displaystyle {}e=3}$, und man kann das Polynom

${\displaystyle X-2Y+X^{2}-XY+3Y^{2}}$

nehmen. Man kann aber auch ${\displaystyle {}c=0}$, ${\displaystyle {}d=1}$, ${\displaystyle {}e=2}$ nehmen, also das Polynom

${\displaystyle X-2Y+XY+2Y^{2}.}$