Polynome/n Variablen/Durchschnitt/Projektion/Resultante/Fakt/Beweis

Die beiden Polynome haben auch aufgefasst in ${\displaystyle {}K(X_{1},\ldots ,X_{n})[Y]}$ keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad. Nach Fakt ist daher die Resultante ${\displaystyle {}\operatorname {Res} (f,g)\neq 0}$. Die Resultante gehört zum Polynomring ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Es sei ${\displaystyle {}P\in K^{n}}$ ein Punkt derart, dass ${\displaystyle {}f(P,Y)}$ und ${\displaystyle {}g(P,Y)}$ eine gemeinsame Nullstelle haben. Dann ist, wiederum nach Fakt, und da die Resultante mit dem Ringwechsel

${\displaystyle \varphi _{P}\colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K}$

verträglich ist,

${\displaystyle {}\operatorname {Res} (f,g)(P)=\operatorname {Res} (f(P,Y),g(P,Y))=0\,.}$

Also sind die Punkte ${\displaystyle {}P}$, für die ${\displaystyle {}f(P,Y)}$ und ${\displaystyle {}g(P,Y)}$ eine gemeinsame Nullstelle haben, selbst Nullstelle der von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenen Resultante, liegen also in einer echten abgeschlossenen Teilmenge.