Polynomiale Abbildung/Kritische Punkte/Kreis/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y,\,x(y+1)\right).}$

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ nicht injektiv ist.
2. Zeige, dass die Einschränkung von ${\displaystyle {}\varphi }$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{<-1}}$ injektiv ist.
3. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${\displaystyle {}\varphi }$ in einem Punkt ${\displaystyle {}\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}}$.
4. Bestimme die kritischen Punkte von ${\displaystyle {}\varphi }$. Welches geometrische Gebilde bilden diese?
5. Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes

   ${\displaystyle {}Q=[-1,1]\times [-3,-2]\,.}$