Polynomring/2/Körper/Lokalisierung/Ungleichlange Ketten/Beispiel

Wir betrachten den Polynomring ${\displaystyle {}K[X,Y]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ mit dem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y)}$ und dem Primideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}=(X-1)}$, das nicht in ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ liegt. Wir betrachten das multiplikative System

${\displaystyle {}S={\left\{f\in K[X,Y]\mid f\notin {\mathfrak {m}}{\text{ und }}f\notin {\mathfrak {p}}\right\}}=K[X,Y]\setminus {\mathfrak {m}}\cap K[X,Y]\setminus {\mathfrak {p}}\,.}$

In der Nenneraufnahme ${\displaystyle {}R=K[X,Y]_{S}}$ sind die Primideale ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}R}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}R}$ die einzigen maximalen Ideale, das eine hat die Höhe ${\displaystyle {}2}$ und das andere die Höhe ${\displaystyle {}1}$. Die Aussage Fakt gilt also nicht für integre Algebren, die im Wesentlichen vom endlichen Typ sind.