Polynomring/Einsetzen von Linearform/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring in der einen Variablen ${\displaystyle {}X}$ über ${\displaystyle {}K}$. Zu einem Polynom ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ und einer Linearform

${\displaystyle {}L=aX+b\,}$

mit ${\displaystyle {}a\neq 0}$ bezeichnet

${\displaystyle P{\frac {L}{X}}}$

das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von ${\displaystyle {}X}$ in ${\displaystyle {}P}$ durch ${\displaystyle {}aX+b}$ ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation ${\displaystyle {}\sim }$ auf ${\displaystyle {}K[X]}$, die durch

${\displaystyle {}P\sim Q\,,}$

falls es eine Linearform ${\displaystyle {}aX+b}$ mit ${\displaystyle {}a\neq 0}$ mit

${\displaystyle {}Q=P{\frac {aX+b}{X}}\,}$

gibt.

a) Berechne

${\displaystyle {\left(3X^{2}-4X+7\right)}{\frac {3X-5}{X}}.}$

b) Zeige, dass durch ${\displaystyle {}\sim }$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.

c) Es sei ${\displaystyle {}K={\mathbb {C} }}$. Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten ${\displaystyle {}Q}$ mit

${\displaystyle {}Q(0)=0\,}$

besitzt.

d) Es sei ${\displaystyle {}K={\mathbb {C} }}$. Zeige, dass jedes Polynom ${\displaystyle {}\neq 0}$ einen normierten Repräsentanten besitzt.

e) Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ${\displaystyle {}P\neq 0}$ nur von der Äquivalenzklasse ${\displaystyle {}[P]}$ abhängt.