Polynomring/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und sei ${\displaystyle {}R[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaft erfüllt.

1. ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}}$
2. ${\displaystyle {}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)\leq \operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)}$
3. Wenn ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.