Polynomring/Maximales Ideal/Punktideal nach Körpererweiterung/Aufgabe/Lösung

Der Restklassenkörper

${\displaystyle {}L:=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {m}}\,}$

ist nach Fakt eine endliche Körpererweiterung von ${\displaystyle {}K}$. Unter dem Restklassenhomomorphismus

${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow L}$

geht ${\displaystyle {}X_{i}}$ auf ein Element ${\displaystyle {}b_{i}\in L}$. Diesen kann man zu einem ${\displaystyle {}L}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle L[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow L,\,X_{i}\longmapsto b_{i},}$

erweitern. Dessen Kern ist das Punktideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {n}}={\left(X_{1}-b_{1},\ldots ,X_{n}-b_{n}\right)}\,.}$

Da das Diagramm

${\displaystyle {\begin{matrix}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L[X_{1},\ldots ,X_{n}]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&L&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}}$

kommutiert, ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$