Polynomring/n Polynome/Ableitungen/Differentialmodul/Fakt/Beweis

Wir setzen ${\displaystyle {}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$ und ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}}$ in ${\displaystyle {}R}$. Die Abbildung

${\displaystyle R\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},\,g\longmapsto (g-g(0))}$

entspricht über die Identifizierung (siehe Fakt)

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}\cong K^{n}\,}$

der Ableitung, die wiederum in den Komponenten wegen Fakt den partiellen Ableitungen von ${\displaystyle {}g}$ entsprechen. Somit ist die von

${\displaystyle \varphi \colon R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}},\,e_{j}\longmapsto g_{j},}$

induzierte Abbildung

${\displaystyle R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\cong K^{n}}$

durch ${\displaystyle {}e_{j}\mapsto \left({\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0)\right)}$ gegeben.

Wenn die Determinante der Matrix ungleich ${\displaystyle {}0}$ ist, so ist diese Abbildung surjektiv. Wegen dem Lemma von Nakayama ist dann bereits ${\displaystyle {}\varphi }$ surjektiv. Wenn die Determinante gleich ${\displaystyle {}0}$ ist, so ist die Gesamtabbildung nicht surjektiv und dann ist auch die vordere Abbildung nicht surjektiv.