Potenz/2 hoch 9 Zehntel/Aufgabe/Lösung

Wir behaupten die Abschätzungen

${\displaystyle {}1{,}8\leq 2^{\frac {9}{10}}\leq 1{,}9\,.}$

Um dies zu zeigen, weisen wir die Gültigkeit der Abschätzungen

${\displaystyle {}1{,}8^{10}\leq 2^{9}=512\leq 1{,}9^{10}\,.}$

nach. Diese gelten wegen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1{,}8^{10}&=3{,}24^{5}\\&=(3{,}24^{2})^{2}\cdot 3{,}24\\&=10{,}4976^{2}\cdot 3{,}24\\&\leq 121\cdot 4\\&=484\\&<512\end{aligned}}}$

und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}1{,}9^{10}&=3{,}61^{5}\\&=(3{,}61^{2})^{2}\cdot 3{,}61\\&=13{,}0321^{2}\cdot 3{,}61\\&>169\cdot 3{,}6\\&=608{,}4\\&>512.\end{aligned}}}$