Potenzreihe/Konvergenz/Ordnung vorziehen/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ eine Potenzreihe mit ${\displaystyle {}a_{0}=a_{1}=\ldots =a_{k}=0}$. Wir betrachten de Potenzreihe ${\displaystyle {}\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}z^{i}}$ mit ${\displaystyle {}b_{i}=a_{i+k}}$ für alle ${\displaystyle {}i}$. Zeige, dass die beiden Potenzreihen die gleichen Konvergenzradien besitzen, und dass im Konvergenzbereich die Gleichung

${\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}=z^{k}\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}z^{i}\,}$

gilt.