Potenzreihe/R/Konvexitätsverhalten/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist ${\displaystyle {}f}$ beliebig oft differenzierbar. Es sei zunächst

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(a)>0\,.}$

Dann gibt es ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ derart, dass ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }}$ positiv auf ganz ${\displaystyle {}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]}$ ist. Dann ist ${\displaystyle {}f'}$ nach Fakt wachsend und somit ist ${\displaystyle {}f}$ nach Fakt konvex.

Bei

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(a)<0\,}$

führt die entsprechende Argumentation dazu, dass ${\displaystyle {}f}$ in einer Umgebung konkav ist.

Es sei nun

${\displaystyle {}f^{\prime \prime }(a)=0\,.}$

Wenn ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }}$ die Nullfunktion ist, so ist ${\displaystyle {}f}$ affin-linear und dann ist ${\displaystyle {}f}$ sowohl konvex als auch konkav. Es sei also ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }}$ nicht die Nullfunktion. Dann gibt es eine offene ${\displaystyle {}\epsilon }$-Umgebung von ${\displaystyle {}a}$ derart, dass dort ${\displaystyle {}a}$ die einzige Nullstelle ist. Dann ist ${\displaystyle {}f^{\prime \prime }}$ auf ${\displaystyle {}[a-\epsilon ,a[}$ und auf ${\displaystyle {}]a,a+\epsilon ]}$ jeweils entweder positiv oder negativ. Daraus folgt jeweils die Konvexität oder die Konkavität wie zuvor.