Prädikatenlogik/Satz/Substitution/Aufgabe/Lösung

Für Sätze ${\displaystyle {}\alpha \in L_{0}^{S}}$ gibt es mi rekursiven Aufbau grundsätzlich zwei Möglichkeiten. Entweder sind sie von der Form ${\displaystyle {}\forall x\beta }$ oder ${\displaystyle {}\exists x\beta }$, wobei in ${\displaystyle {}\alpha }$ höchstens die Variable ${\displaystyle {}x}$ frei vorkommt, oder sie entstehen durch aussagenlogische Verknüpfungen aus Sätzen.

Im ersten Fall ergibt sich aus der Voraussetzung ${\displaystyle {}\alpha =\forall x\beta \in L_{0}^{S}}$, dass in ${\displaystyle {}\alpha }$ keine Variable frei vorkommt. Somit ist die relevante Variablenmenge und entsprechend die relevante Termmenge leer. Daher ist als „Hilfsvariable“

${\displaystyle {}v=x\,}$

zu wählen, und es ist

${\displaystyle {}(\forall x\beta ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}=\forall x(\beta {\frac {x}{x}})=\forall x\beta \,.}$