Prädikatenlogik/Substitution/Hintereinander/Aufgabe/Lösung

Es sei ${\displaystyle {}+}$ ein zweistelliges Funktionssymbol und sei der Ausdruck ${\displaystyle {}\alpha }$ gleich ${\displaystyle {}x_{1}=x_{2}}$. Wir setzen

${\displaystyle {}t_{1}=t_{2}=x_{1}+x_{2}\,.}$

Dann ist einerseits (wir schreiben ${\displaystyle {}\equiv }$ für die Gleichheit von Ausdrücken)

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\alpha {\frac {t_{1},t_{2}}{x_{1},x_{2}}}&\equiv (x_{1}=x_{2}){\frac {x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}}{x_{1},x_{2}}}\\&\equiv x_{1}+x_{2}=x_{1}+x_{2},\end{aligned}}}$

was allgemeingültig ist, und andererseits

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\alpha {\frac {t_{1}}{x_{1}}}\right)}{\frac {t_{2}}{x_{2}}}&\equiv {\left((x_{1}=x_{2}){\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}}}\right)}{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}}}\\&\equiv {\left(x_{1}+x_{2}=x_{2}\right)}{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}}}\\&=x_{1}+(x_{1}+x_{2})=x_{1}+x_{2},\end{aligned}}}$

was nicht allgemeingültig ist (beispielsweise bei Interpretation in ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$).