Primzahl/Zahlbereich/Primideal/Natürlicher Betrag/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}R}$ der Zahlbereich zur endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$ und sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\subseteq R}$ ein maximales Ideal mit ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} =(p)}$. Es sei ${\displaystyle {}e}$ der Verzweigungsindex von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{(p)}\subseteq R_{\mathfrak {p}}}$ und ${\displaystyle {}f}$ der Trägheitsgrad von ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ über ${\displaystyle {}(p)}$. Zeige

${\displaystyle {}\vert {p}\vert _{{\mathfrak {p}},{\text{ nat}}}=p^{-ef}\,.}$