Primzahlen/Rest 1 mod 4/Unendlich/Aufgabe/Lösung

Wir ziehen Fakt heran, wonach eine ungerade Primzahl ${\displaystyle {}p}$ genau dann den Rest ${\displaystyle {}1}$ modulo ${\displaystyle {}4}$ besitzt, wenn ${\displaystyle {}-1}$ eine Quadratwurzel in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ ist. Nehmen wir an, dass es nur endlich viele Primzahlen ${\displaystyle {}p_{1},\ldots ,p_{k}}$ von diesem Typ gibt. Wir betrachten das Polynom

${\displaystyle {}f(x)=x^{2}+1\,.}$

Die Zahl

${\displaystyle {}f(2p_{1}\cdots p_{k})=4(p_{1}\cdots p_{k})^{2}+1\,}$

besitzt einen Primteiler ${\displaystyle {}q}$, der von allen ${\displaystyle {}p_{i}}$ und von ${\displaystyle {}2}$ verschieden ist. Es ist

${\displaystyle {}f(2p_{1}\cdots p_{k})=0\mod q\,.}$

${\displaystyle {}f(x)}$

${\displaystyle {}q}$

${\displaystyle {}-1}$

${\displaystyle {}q}$

${\displaystyle {}q}$

${\displaystyle {}1}$

${\displaystyle {}4}$