Projektiver Raum/Getwistetes Geradenbündel/Geometrische Realisierung/Beispiel

Wir betrachten den projektiven Raum

${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{n}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\right)}\,}$

und das projektive Spektrum

${\displaystyle {}W_{k}=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\right)}\,,}$

wobei die Grade von ${\displaystyle {}X_{i}}$ gleich ${\displaystyle {}1}$ sind und ${\displaystyle {}Y}$ den Grad ${\displaystyle {}k}$ bekommt. Gemäß Fakt induziert die homogene Inklusion

${\displaystyle {}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]\subset K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n},Y]\,}$

einen Schemamorphismus

${\displaystyle p\colon W_{k}\supset D_{+}(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n})=V_{k}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}.}$

Auf ${\displaystyle {}D_{+}(X_{i})}$ liegt die Abbildung

${\displaystyle D_{+}(X_{i})\cong \operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {X_{j}}{X_{i}}},j\neq i,{\frac {Y}{X_{i}^{k}}}]\right)}\longrightarrow D_{+}(X_{i})\cong \operatorname {Spek} {\left(K[{\frac {X_{j}}{X_{i}}},j\neq i]\right)}}$

vor, also ein triviales Geradenbündel. Zu ${\displaystyle {}D_{+}(X_{i})}$ und ${\displaystyle {}D_{+}(X_{j})}$ werden die Übergangsabbildungen über

${\displaystyle {}\Gamma {\left(D_{+}(X_{i}X_{j}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{n}}\right)}=K[{\frac {X_{r}}{X_{i}}},r\neq i,{\frac {X_{s}}{X_{j}}},s\neq j]\,}$

durch ${\displaystyle {}{\frac {Y}{X_{i}^{k}}}\mapsto {\frac {Y}{X_{j}^{k}}}\cdot {\frac {X_{j}^{k}}{X_{i}^{k}}}}$ gegeben. Diese sind also linear und es liegt ein Geradenbündel über dem projektiven Raum vor.