Projektiver Raum/Hyperfläche/Divisor/Invertierbare Untergarbe/Aufgabe

Es sei

${\displaystyle {}D=\sum _{Y}a_{Y}\cdot Y=\sum _{j}a_{j}\cdot Y_{j}=\sum _{j}a_{j}\cdot V_{+}(G_{j})\,}$

ein Weildivisor des projektiven Raumes ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{K}^{d}}$, wobei die beteiligten Primdivisoren durch homogene Primelemente ${\displaystyle {}G_{j}\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]}$ beschrieben werden. Wir betrachten das Polynom ${\displaystyle {}G:=\prod _{j}G_{j}^{a_{j}}}$ vom Grad ${\displaystyle {}\delta =\sum _{j}a_{j}\operatorname {grad} \,(G_{j})}$. Zeige, dass die zugehörige invertierbare Untergarbe ${\displaystyle {}{\mathcal {L}}_{D}}$ in der Funktionenkörpergarbe im Sinne von Fakt mit der Realisierung der getwisteten Strukturgarbe ${\displaystyle {}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{d}}(-\delta )}$ durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}G}$ aus Beispiel übereinstimmt.