Projektiver Raum/R/Kählermodul/Fakt/Beweis

Wir bezeichnen die Kerngarbe links, die wir als Kähler-Modul nachweisen wollen, mit

${\displaystyle {}{\mathcal {S}}=\operatorname {Syz} {\left(X_{0},\ldots ,X_{n}\right)}\,.}$

Die angegebene Abbildung ${\displaystyle {}d}$ (die ja von der universellen Derivation auf dem ${\displaystyle {}n+1}$-dimensionalen Raum herrührt) macht aus einer Funktion vom Grad ${\displaystyle {}0}$ eine Funktion vom Grad ${\displaystyle {}-1}$, was man direkt für (rationale) Monome überprüfen kann. Daher liegt eine ${\displaystyle {}R}$-lineare Abbildung

${\displaystyle d\colon \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\right)}}$

vor. Die Leibnizregel überträgt sich hierher, da ja die partiellen Ableitungen die Leibnizregel erfüllen. Es ist zu zeigen, dass das Bild von ${\displaystyle {}d}$ im Kern der hinteren Abbildung landet. Für ein Monom ${\displaystyle {}X^{\nu }}$ vom Grad ${\displaystyle {}0}$ ist aber

${\displaystyle {}\sum _{j=0}^{n}X_{j}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial X_{j}}}=\sum _{j=0}^{n}{\left(\nu _{j}X^{\nu }\right)}={\left(\sum _{j=0}^{n}\nu _{j}\right)}X^{\nu }=0\,.}$

Betrachten wir die Situation auf ${\displaystyle {}D_{+}(X_{0})}$ und setzen wir ${\displaystyle {}Y_{j}={\frac {X_{j}}{X_{0}}}}$. Dann ist unter Verwendung von Beispiel und Beispiel

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {S}}\right)}&=\operatorname {kern} \left(\Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(-1)\right)}^{\oplus n+1}{\stackrel {X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}\Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}\right)\\\\&=\operatorname {kern} {\Bigl (}{\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{-1}\oplus \cdots \oplus {\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{-1}{\stackrel {X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}}{\longrightarrow }}{\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{0}}\right)}_{0}{\Bigr )}\\&=\operatorname {kern} {\Bigl (}R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\cdot X_{0}^{-1}\oplus \cdots \oplus R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\cdot X_{0}^{-1}{\stackrel {X_{0},X_{0}Y_{1},\ldots ,X_{0}Y_{n}}{\longrightarrow }}R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]{\Bigr )}\\&\cong R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\oplus \cdots \oplus R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}],\,\end{aligned}}}$

wobei zuletzt ${\displaystyle {}n}$ Summanden stehen und darin das Tupel ${\displaystyle {}\left(P_{1},\,\ldots ,\,P_{n}\right)}$ dem Tupel ${\displaystyle {}\left(-\sum _{i=1}^{n}P_{i}Y_{i}X_{0}^{-1},\,P_{1}X_{0}^{-1},\,\ldots ,\,P_{n}X_{0}^{-1}\right)}$ des Kerns entspricht. Unter der Abbildung ${\displaystyle {}d}$ wird das Monom

${\displaystyle {}Y^{\mu }={\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}}\right)}^{\mu _{1}}\cdots {\left({\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}^{\mu _{n}}=X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}}X_{1}^{\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}}\in \Gamma {\left(D_{+}(X_{0}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}\,}$

auf das Element

${\displaystyle \left(-{\left(\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}\right)}X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}-1}X_{1}^{\mu _{1}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}},\,\mu _{1}X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}}X_{1}^{\mu _{1}-1}X_{2}^{\mu _{2}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}},\,\ldots ,\,\mu _{n}X_{0}^{-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}}X_{1}^{\mu _{1}}X_{2}^{\mu _{2}}\cdots X_{n}^{\mu _{n}-1}\right)}$

abgebildet. Dieses entspricht unter der oben beschriebenen Identifizierung (also die erste Komponente weglassen und mit ${\displaystyle {}X_{0}}$ multiplizieren) einfach dem Tupel der Ableitungen nach den Variablen ${\displaystyle {}Y_{j}}$. Also liegt nach Fakt die universelle Derivation des Polynomrings ${\displaystyle {}R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}$ vor.