Punktierte Ebene/Invertierung/Stammfunktion/Analytische Fortsetzung/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion ${\displaystyle {}f(z)={\frac {1}{z}}}$ auf ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$ und die Parametrisierung

${\displaystyle [0,2\pi ]\longrightarrow S^{1}\subseteq {\mathbb {C} },\,t\longmapsto e^{{\mathrm {i} }t}=\cos t+{\mathrm {i} }\sin t,}$

des komplexen Einheitskreises.

1. Bestimme die Potenzreihen von ${\displaystyle {}f}$ in den Punkten ${\displaystyle {}1,{\mathrm {i} },-1,-{\mathrm {i} }}$. Diese Reihen seien ${\displaystyle {}f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}}$. Was ist ihr Konvergenzradius?
2. Bestimme für die Potenzreihen ${\displaystyle {}f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}}$ aus (1) Stammreihen ${\displaystyle {}g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}}$. Dabei sollen die Reihen ${\displaystyle {}g_{i}}$ und ${\displaystyle {}g_{i+1}}$ für ${\displaystyle {}i=1,2,3}$ in ihren Übergangsbereichen übereinstimmen.
3. Zeige, dass ${\displaystyle {}g_{4}}$ und ${\displaystyle {}g_{1}}$ in ihrem Übergangsbereich nicht übereinstimmen.
4. Bestimme eine Stammreihe ${\displaystyle {}g_{5}}$ von ${\displaystyle {}f_{1}}$, die mit ${\displaystyle {}g_{4}}$ auf dem Übergangsbereich übereinstimmt.
5. Zeige, dass der Funktionskeim ${\displaystyle {}g_{5}}$ aus dem Funktionskeim ${\displaystyle {}g_{1}}$ durch analytische Fortsetzung längs ${\displaystyle {}\gamma }$ hervorgeht.