Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/Fakt/Beweis

Es sei ${\displaystyle {}(x,y,z)}$ ein pythagoreisches Tripel. Der Fall ${\displaystyle {}z=0}$ ist ausgeschlossen. Dann ist ${\displaystyle {}\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}}\right)}$ ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten. Nach Fakt gibt es, da ${\displaystyle {}z\neq -x}$ vorausgesetzt wurde, eine eindeutig bestimmte rationale Zahl ${\displaystyle {}t}$ mit

${\displaystyle {}\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=\left({\frac {x}{z}},\,{\frac {y}{z}}\right)\,.}$

Dann gibt es eine rationale Zahl ${\displaystyle {}q\neq 0}$ mit

${\displaystyle x=q(1-t^{2}),\,y=q2t,\,z=q(1+t^{2}).}$

Sei ${\displaystyle {}t={\frac {u}{v}}}$ mit ganzen teilerfremden Zahlen ${\displaystyle {}u,v}$, ${\displaystyle {}v>0}$. Wir ersetzen ${\displaystyle {}q}$ durch

${\displaystyle {}{\tilde {q}}={\frac {q}{v^{2}}}\,}$

und haben dann

${\displaystyle x={\tilde {q}}(v^{2}-u^{2}),\,y={\tilde {q}}2uv,\,z={\tilde {q}}(u^{2}+v^{2}).}$

Da ${\displaystyle {}u}$ und ${\displaystyle {}v}$ teilerfremd sind, sind auch ${\displaystyle {}u,v,v^{2}-u^{2}}$ paarweise teilerfremd. Ein Primteiler des Nenners von ${\displaystyle {}{\tilde {q}}}$ teilt ${\displaystyle {}2uv}$ und ${\displaystyle {}v^{2}-u^{2}}$. Daher kommt nur ${\displaystyle {}2}$ in Frage. In diesem Fall wären aber ${\displaystyle {}v^{2}-u^{2}}$ und ${\displaystyle {}u^{2}+v^{2}}$ gerade, und ${\displaystyle {}u}$ und ${\displaystyle {}v}$ wären beide ungerade. Dann wäre aber ${\displaystyle {}y={\tilde {q}}2uv}$ ungerade im Widerspruch zur Voraussetzung. Also ist ${\displaystyle {}{\tilde {q}}}$ eine ganze Zahl.

Wenn das pythagoreische Tripel primitiv ist, so muss in dieser Darstellung ${\displaystyle {}{\tilde {q}}=1}$ oder ${\displaystyle {}-1}$ sein. Außerdem können dann ${\displaystyle {}u}$ und ${\displaystyle {}v}$ nicht beide ungerade sein, sonst wäre ${\displaystyle {}2}$ ein gemeinsamer Teiler des Tripels. Wenn umgekehrt diese Bedingungen erfüllt sind, so ist das Tripel primitiv.