Q+xN +/Konstruktion aller Wurzeln/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Wir betrachten auf ${\displaystyle {}\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} _{+}}$ die Relation ${\displaystyle {}(p,m)\sim (q,n)}$, falls ${\displaystyle {}p^{n}=q^{m}}$ gilt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Es sei

   ${\displaystyle {}Q=(\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} )/\sim \,}$

   die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf ${\displaystyle {}Q}$ durch

   ${\displaystyle {}[(p,m)]\cdot [(q,n)]:=[(p^{n}q^{m},nm)]\,}$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

3. Zeige, dass ${\displaystyle {}Q}$ eine kommutative Gruppe ist.
4. Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem ${\displaystyle {}p\in \mathbb {Q} _{+}}$ und jedes ${\displaystyle {}m\in \mathbb {N} _{+}}$ die Wurzel ${\displaystyle {}{\sqrt[{m}]{p}}}$ gibt. Zeige, dass die Zuordnung

   ${\displaystyle Q\longrightarrow K_{+},\,[(p,m)]\longmapsto {\sqrt[{m}]{p}},}$

   ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.