Q modulo Z/Tate-Modul/Komplettierung/Aufgabe/Lösung

Die Torsionsuntergruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n}]}$ der Ordnung ${\displaystyle {}\ell ^{n}}$ besteht aus allen Restklassen

${\displaystyle [{\frac {a}{\ell ^{n}}}],\,a=0,1,\ldots ,\ell ^{n}-1}$

und ist somit isomorph zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(\ell ^{n})}$. Für ein Element ${\displaystyle {}x\in {\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n}]}$ gilt ja

${\displaystyle {}x\cdot \ell ^{n}=a\in \mathbb {Z} \,}$

und somit besitzt ${\displaystyle {}x}$ eine Bruchdarstellung

${\displaystyle {}x={\frac {a}{\ell ^{n}}}\,.}$

In der Restklassengruppe kann man ${\displaystyle {}a}$ aus dem angegebenen Bereich wählen. Unter dem Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle \cdot \ell \colon {\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n+1}]\longrightarrow {\left(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} \right)}[\ell ^{n}]}$

wird der Erzeuger ${\displaystyle {}[{\frac {1}{\ell ^{n+1}}}]}$ rechts auf den Erzeuger

${\displaystyle {}\ell [{\frac {1}{\ell ^{n+1}}}]=[{\frac {1}{\ell ^{n}}}]\,,}$

${\displaystyle {}{\hat {\mathbb {Z} }}_{\ell }}$