Quadratische Form/Modul/Cauchy-Schwarz/Einführung/Textabschnitt

Bei ${\displaystyle {}w=0}$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${\displaystyle {}w\neq 0}$ und damit auch ${\displaystyle {}\Vert {w}\Vert \neq 0}$. Damit hat man die Abschätzungen

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Multiplikation mit ${\displaystyle {}\Vert {w}\Vert ^{2}}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

Die Form

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle =Q(v+w)-Q(v)-Q(w)\,}$

ist bilinear und nach Voraussetzung positiv definit. Deshalb ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle \left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w,\left\langle w,w\right\rangle v-\left\langle v,w\right\rangle w\right\rangle \\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}+\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle ^{2}\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle w,w\right\rangle {\left(\left\langle w,w\right\rangle \left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\right)}.\end{aligned}}}$

Bei ${\displaystyle {}w=0}$ ist die zu beweisende Aussage richtig, sei also ${\displaystyle {}w\neq 0}$. Wegen der positiven Definitheit ist dann

${\displaystyle {}\left\langle w,w\right\rangle >0\,,}$

woraus

${\displaystyle {}\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\leq \left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle =2Q(v)\cdot 2Q(w)=4Q(v)Q(w)\,}$

folgt.