Quadratische Form/X^2-Y^2/Werte/Aufgabe/Lösung

Es sei

${\displaystyle {}n=2\mod 4\,.}$

Eine Darstellung

${\displaystyle {}n=x^{2}-y^{2}\,}$

führt modulo ${\displaystyle {}4}$ zum Widerspruch, da modulo ${\displaystyle {}4}$ nur ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ Quadrate sind.

Es sei

${\displaystyle {}n=1,3\mod 4\,.}$

Dann ist

${\displaystyle {}n=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {n-1}{2}}\right)^{2}\,,}$

wobei die beiden Zahlen ganzzahlig sind.

Es sei

${\displaystyle {}n=0\mod 4\,.}$

Wir schreiben

${\displaystyle {}n=2^{r}u\,}$

mit ${\displaystyle {}r\geq 2}$ und einer ungeraden Zahl ${\displaystyle {}u}$. Wenn ${\displaystyle {}r}$ gerade ist, so ist ${\displaystyle {}2^{r}}$ eine Quadratzahl und die Darstellbarkeit von ${\displaystyle {}u}$ überträgt sich auf ${\displaystyle {}n}$. Bei ${\displaystyle {}r}$ ungerade ist

${\displaystyle {}2^{r}u=2^{r-3}2^{3}u\,}$

mit ${\displaystyle {}r-3}$ gerade und die Darstellbarkeit hängt nur von der Darstellbarkeit von ${\displaystyle {}2^{3}u}$ ab. Diese ist direkt durch

${\displaystyle {}n=8u=(u+2)^{2}-(u-2)^{2}\,}$