Quadratische Körpererweiterung/Q-linear/Normerhaltung/Konjugation/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

${\displaystyle {}h:=\varphi (1)\,}$

und betrachten die Multiplikation

${\displaystyle \psi \colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto hx.}$

Diese Abbildung ist ebenfalls ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-linear und bijektiv. Wegen

${\displaystyle {}N(h)=N(\varphi (1))=N(1)=1\,}$

ist die Norm von ${\displaystyle {}h}$ gleich ${\displaystyle {}1}$ und somit ist

${\displaystyle {}N(\psi (x))=N(hx)=N(h)N(x)=N(x)\,,}$

d.h. ist ebenfalls normerhaltend. Wir schreiben nun mit ${\displaystyle {}\varphi '=\psi ^{-1}\circ \varphi }$

${\displaystyle {}\varphi =\psi \circ \varphi '\,}$

als Hintereinanderschaltung. Die Abbildung ${\displaystyle {}\varphi '}$ ist ebenfalls ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$-linear und normerhalten und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass ${\displaystyle {}1}$ auf ${\displaystyle {}1}$ abgebildet wird. Wir haben also zu zeigen, dass eine solche Abbildung die Identität oder die Konjugation ist. Nennen wir sie wieder ${\displaystyle {}\varphi }$. Es ist

${\displaystyle {}\varphi ({\sqrt {D}})=r+s{\sqrt {D}}\,}$

mit ${\displaystyle {}r,s\in \mathbb {Q} }$. Die Normbedingung liefert

${\displaystyle {}-D=r^{2}-s^{2}D\,.}$

Ferner ist

${\displaystyle {}\varphi (1+{\sqrt {D}})=1+r+s{\sqrt {D}}\,}$

und die Normbedingung liefert

${\displaystyle {}1-D=(1+r)^{2}-s^{2}D\,.}$

Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen

${\displaystyle {}(1+r)^{2}-s^{2}D=1+r^{2}-s^{2}D\,}$

bzw. ${\displaystyle {}2r=0}$, also ${\displaystyle {}r=0}$. Daraus ergibt sich

${\displaystyle {}s=\pm 1\,,}$