Quadratische Ringerweiterung von Körper/Klassifikation/Fakt/Beweis

Nach Voraussetzung ist ${\displaystyle {}L}$ ein zweidimensionaler ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum. Wir können das Element ${\displaystyle {}1\in K\subset L}$ zu einer ${\displaystyle {}K}$-Basis ${\displaystyle {}1,u}$ von ${\displaystyle {}L}$ ergänzen (mit ${\displaystyle {}u\notin K}$). Wegen ${\displaystyle {}u^{2}\in L}$ hat man eine Darstellung

${\displaystyle {}u^{2}=au+b\,}$

mit eindeutig bestimmten Elementen ${\displaystyle {}a,b\in K}$. Damit ist ${\displaystyle {}L}$ isomorph zum Restklassenring ${\displaystyle {}L\cong K[U]/(U^{2}-aU-b)}$. Ist das Polynom ${\displaystyle {}P=U^{2}-aU-b}$ irreduzibel über ${\displaystyle {}K}$, so ist ${\displaystyle {}L}$ ein Körper und wir sind im ersten Fall. Andernfalls gibt es eine Zerlegung ${\displaystyle {}P=(U-c)(U-d)}$ mit ${\displaystyle {}c,d\in K}$. Bei ${\displaystyle {}c=d}$ kann man die Restklasse von ${\displaystyle {}U-c}$ (also ${\displaystyle u-c}$) als ${\displaystyle {}\epsilon }$ bezeichnen und man ist im zweiten Fall, da ja ${\displaystyle {}\epsilon ^{2}=0}$ gilt. Es sei also ${\displaystyle {}c\neq d}$ vorausgesetzt. Dann induzieren die beiden ${\displaystyle {}K}$-Algebrahomomorphismen ${\displaystyle {}\varphi _{1}\colon L\longrightarrow K}$, ${\displaystyle {}u\longmapsto c}$, und ${\displaystyle {}\varphi _{2}\colon L\longrightarrow K}$, ${\displaystyle {}u\longmapsto d}$, einen Homomorphismus

${\displaystyle \varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}\colon L\longrightarrow K\times K.}$

Dieser ist surjektiv, da ${\displaystyle {}\varphi (1)=(1,1)}$ und

${\displaystyle {}\varphi (u)=(c,d)\,}$

ist und diese Bildvektoren linear unabhängig über ${\displaystyle {}K}$ sind, also eine Basis von ${\displaystyle {}K\times K}$ bilden. Damit ist ${\displaystyle {}\varphi }$ aber auch injektiv und es liegt eine Isomorphie wie im dritten Fall behauptet vor.